Криволінійний інтеграл: Загальні поняття та застосування
1. Вступ
Узагальченням визначеного інтеграла на випадок, коли областью інтегрування є деяка крива, буде так званим криволінійним інтегралом. Цей інтеграл є потужним інструментами для розрахунку довжини дуги кривою, площини, утворені кривокю, та інших геометріююних показчиків.
2. Визначення криволінійного інтеграла
Криволінійним інтегралом першому роду називається інтеграл від деякої функції (f(x,y)) по дузі (L):
$$ \int\limits_L f(x, y) \ ds = \int\limits_{a}^{b} f(x(t), y(t)) \sqrt{1+[\frac{dy}{dx}]^2} \ dt,$$
де (x(t), y(t)) — рівняння кривою (L), (a), (b)- межа відрізка інтегрування.
Криволінійним інтегралом II роду називається інтеграл по дузі (L):
$$ \int\limits_L {\bf r}(x, y, z) \cdot d{\bf r} =\int\limits_a^b {\bf r}(x(t), y(t), z(t)) \cdot {\bf r}'(t) dt ,$$
де (r(x, y, z)) — радіу-вектор, що визначає положення точки на кривій (L), , ({{\bf r}'(t)) — похідна радіуса-вектора по ({t).
3. Геометріюні застосування криволінійного інтеграла
Довжину дуги кривою можна знайти за формулою:
$$ L=\int\limits_a^b \sqrt{1+[y'(x)]^2} \ dx =\int\limits_a^b \sqrt{1^2+[z'(y)]^2} \ dy =\int\limits_a^b \sqrt{1^2+[z'(z)]^2} \ dz .$$
Для обчислення площини, утвореної кривою, використовують формулу:
$$S=\int\limits_L x \ dy-y \ dx = \int\limits_L y \ dx-x \ dy = \int\limits_L z \ dx-x \ dz = \int\limits_L x \ dy -y \ dx$$
4. Приклади застосування криволінійного інтеграла
- Знайти довжину дуги кривою (L), заданою рівняями: (x=t^2, y=2t-t^2,) (0\le t \le 1).
Вирішеня:
$$ L=\int\limits_0^1 \sqrt{1+[2-2t]^2} \ dt = \int\limits_0^1 \sqrt{1+4t^2-4t} \ dt \approx 1.87).
- Знайти площиню, утворну кривою (L), заданою рівняями (x=\cos t, y=\sin t), (\pi/2 \le t \le \pi).
Вирішеня:
$$S = \int\limits_{\pi/2}^\pi (\cos t)(\sin t)-\cos t \sin t dt=\frac{1}{2} \int\limits_{\pi/2}^\pi \sin^2 t \ dt = \frac{\pi}{4}.$$
Питання, що часто задаються:
- Що таке криволінійний інтеграл?
- Як знайти довжину дуги кривою, заданою рівняннями?
- Як знайти площиню, що утворена кривою, заданою рівняями?